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    <title>拓扑空间与连续映射</title>
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</head>
<body>

<h2>拓扑空间</h2>

<h3>拓扑空间的定义</h3>

<ol class="definition">
	<b>拓扑公理</b>
	设 `X != O/`, 称 `tau sube 2^X` 为 `X` 的一个<b>拓扑</b>, 如果它满足
	<li>`X, O/ in tau`;</li>
	<li>`tau` 中任意多个集合的并仍在 `tau` 中;</li>
	<li>`tau` 中任意有限个集合的交仍在 `tau` 中.</li>
	集合 `X` 连同其上的拓扑 `tau` 组成一个<b>拓扑空间</b> `(X, tau)`,
	不引起混淆的情况下, 简记为 `X`.
	`tau` 中的成员称为这个拓扑空间的<b>开集</b>.
	因此, 给出集合的一个拓扑就是指定它的哪些子集是开集
	(在满足拓扑公理的前提下).
</ol>

<p class="remark">
	应用归纳法知, 拓扑公理的 3. 等价于 `tau` 中任意两个集合的交仍在 `tau`
	中.
</p>

<p class="definition">
	设 `tau_1, tau_2` 是 `X` 上的两个拓扑. 称 `tau_2` 比 `tau_1`
	<b>大</b>或<b>精细</b>, 如果 `tau_1 sube tau_2`.
</p>

<ol class="example">
	设 `X != O/`.
	<li><b>平凡拓扑</b> `tau_t = {X, O/}` 是 `X` 上最小的拓扑,
		它的开集只有全空间与空集;</li>
	<li><b>离散拓扑</b> `tau_s = 2^X` 是 `X` 上最大的拓扑,
		`X` 的任一子集都是开集;</li>
	<li><b>余有限拓扑</b> `tau_f = {A^c: A sube X, |A| lt oo} uu {O/}`,
		`X` 为无穷集合;
	</li>
	<li><b>余可数拓扑</b> `tau_c = {A^c: A sube X, |A| = aleph_0} uu
		{O/}`, `X` 为不可数集合;
	</li>
	<li><b>欧氏拓扑</b> `tau_e = {uuu_(alpha in I) O_alpha: O_alpha
		"是开区间"}`, `X = RR`. 这里 `I` 可以是空集, 因此 `O/ in tau_e`.
	</li>
	统一取 `X = RR` 时, `tau_f` 小于 `tau_c` 和 `tau_e`; 而 `tau_c, tau_e`
	不能比较大小.
</ol>

<h3>度量拓扑</h3>

<ol class="definition">
	设 `X != O/`, 称映射 `d: X xx X to RR` 为 `X` 上的一个<b>度量</b>,
	如果它满足
	<li>正定性. `(AA x in X)` `d(x, x) = 0`,
		`(AA x, y in X, x != y)` `d(x, y) gt 0`;
	</li>
	<li>对称性. `(AA x, y in X)` `d(x, y) = d(y, x)`;</li>
	<li>三角不等式. `(AA x, y, z in X)` `d(x, z) le d(x, y) + d(y, z)`.
	</li>
	集合 `X` 连同其上的度量 `d` 组成一个<b>度量空间</b> `(X, d)`,
	有时也简记为 `X`.
</ol>

<p class="example">
	在 `RR^n` 上规定度量
	<span class="formula">
		`d(x, y) = (sum_(i=1)^n (x_i - y_i)^2)^(1/2)`,
	</span>
	称 `E^n = (RR^n, d)` 为 <b>`n` 维欧氏空间</b>.
</p>

<p class="definition">
	度量空间 `(X, d)` 上以 `x_0` 为心, `epsi gt 0`
	为半径的<b>开球</b>定义为
	<span class="formula">
		`B(x_0, epsi) := {x in X: d(x_0, x) lt epsi}`.
	</span>
</p>

<p class="lemma">
	度量空间 `(X, d)` 的任意两个开球的交可以表为一族开球的并.
</p>

<p class="proof">
	设 `U = B(x_1, epsi_1) nn B(x_2, epsi_2)`, 任取 `x in U`, 有
	<span class="formula">
		`d(x, x_i) lt epsi_i`, `i = 1, 2`.
	</span>
	取
	<span class="formula">
		`epsi_x = min{epsi_1 - d(x, x_1), epsi_2 - d(x, x_2)}`,
	</span>
	则对任意 `y in B(x, epsi_x)`, 有
	<span class="formula">
		`d(x, y) lt epsi_x le epsi_i - d(x, x_i)`, `i = 1, 2`.
	</span>
	于是
	<span class="formula">
		`d(x_i, y) le d(x_i, x) + d(x, y) lt epsi_i`, `i = 1, 2`,
	</span>
	即 `B(x, epsi_x) sube U`. 从而
	<span class="formula">
		`U = uuu_(x in U) B(x, epsi_x)`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	任意度量空间上都可以诱导出一个拓扑
	<span class="formula">
		`tau_d = {uuu_(alpha in I) O_alpha: O_alpha "是开球"}`,
	</span>
	称为<b>度量拓扑</b>. 特别把欧氏空间 `E^n`
	的度量拓扑称为<b>欧氏拓扑</b>.
</p>

<p class="proof">
	显然 `tau_d` 满足拓扑公理的 1 和 2 (注意 `I` 可以是空集).
	下证它满足 3. 设
	<span class="formula">
		`U = uuu_alpha B(x_alpha, epsi_alpha),
		 V = uuu_beta B(x_beta, epsi_beta) in tau_d`,
	</span>
	则
	<span class="formula">
		` U nn V
		= (uuu_alpha B(x_alpha, epsi_alpha))
		  nn (uuu_beta B(x_beta, epsi_beta))`
		`= uuu_(alpha, beta) (B(x_alpha, epsi_alpha)
		  nn B(x_beta, epsi_beta))`.
	</span>
	再由引理知 `U nn V in tau_d`.
</p>

<h3>拓扑空间中的几个基本概念</h3>

<h4>闭集</h4>

<p class="definition">
	称拓扑空间 `X` 的子集 `A` 为<b>闭集</b>, 如果 `A^c` 是开集.
	`(X, tau)` 的全体闭集可以写作 `{A^c: A in tau}`.
</p>

<ol class="example">
	<li>平凡拓扑空间中只有两个闭集: `X` 与 `O/`;</li>
	<li>离散拓扑空间中, 任何子集都是闭集;</li>
	<li>余有限拓扑空间 `(X, tau_f)` 中, 闭集是 `X` 或有限集;</li>
	<li>余可数拓扑空间 `(X, tau_c)` 中, 闭集是 `X` 或可数集.</li>
</ol>

<ol class="corollary">
	由拓扑公理和 De Morgan 公式, 拓扑空间的闭集满足:
	<li>`X`, `O/` 都是闭集;</li>
	<li>任意多个闭集的交仍是闭集;</li>
	<li>有限个闭集的并仍是闭集.</li>
</ol>

<h4>邻域, 内点与内部</h4>

<p class="definition">
	设 `X` 为拓扑空间, `A sube X`, `x in A`. 如果存在开集 `U` 满足
	`x in U sube A`, 则称 `x` 是 `A` 的一个<b>内点</b>, `A` 是 `x`
	的一个<b>邻域</b>. 特别地, 若 `A` 本身是开集, 则称 `A` 是 `x`
	的<b>开邻域</b>. 由定义知道, `A` 是 `x` 的邻域当且仅当它含着
	`x` 的一个开邻域. `A` 的全体内点的集合称为 `A` 的<b>内部</b>,
	记为 `A^@` 或 `overset @ A` 或 `"int" A`.
</p>

<ol class="theorem" id="the-openset-property">
	<li>`A sube B rArr A^@ sube B^@`;</li>
	<li>`A^@` 是 `A` 中所有开集的并, 因此是 `A` 中最大的开集;</li>
	<li>`A` 是开集 `iff A^@ = A`;</li>
	<li>`(A nn B)^@ = A^@ nn B^@` (可推广到有限个);</li>
	<li>`(A uu B)^@ supe A^@ uu B^@`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`x in A^@`
		`iff EE U in tau, x in U sube A`
		`rArr EE U in tau, x in U sube B`
		`iff x in B^@`.
	</li>
	<li>设 `{U_alpha: alpha in I}` 是 `A` 中的所有开集构成的子集族, 则
		`x in A^@`
		`iff EE U in tau, x in U sube A`
		`iff EE alpha in I, x in U_alpha`
		`iff x in uuu_(alpha in I) U_alpha`.
	</li>
	<li>`A in tau iff A = uuu_(alpha in I) U_alpha = A^@`.</li>
	<li>`(A nn B) sube A rArr (A nn B)^@ sube A^@`, 同理 `(A nn B)^@ sube
		B^@`, 得到 `(A nn B)^@ sube A^@ nn B^@`.
		另一方面, 由 3. 有 `A nn B supe A^@ nn B^@`
		`rArr (A nn B)^@ supe (A^@ nn B^@)^@` `= A^@ nn B^@`.
	</li>
	<li>因为 `A^@ uu B^@` 是包含在 `A uu B` 中的开集, 由 2. 有
		`(A uu B)^@ supe A^@ uu B^@`.
		等号不成立的一个例子是 `bm E^1` 中, `A = (0, 1]`, `B = (1, 2)`;
		此时 `(A uu B)^@ = (0, 2)`, `A^@ uu B^@ = (0, 1) uu (1, 2)`.
	</li>
</ol>

<h4>聚点, 导集与闭包</h4>

<p class="definition">
	设 `X` 为拓扑空间, `A sube X`, `x in X`. 如果 `x` 的任意 (开) 邻域都含
	`A \\ {x}` 中的点, 则称 `x` 为 `A` 的<b>聚点</b>. `A`
	的所有聚点的集合称为 `A` 的<b>导集</b>, 记作 `A'`. 称集合
	`bar A := A uu A'` 为 `A` 的<b>闭包</b>.
</p>

<p class="corollary">
	`x in bar A` `iff x` 的任一 (开) 邻域与 `A` 有交点.
</p>

<p class="example">
	拓扑空间中的聚点近旁未必聚集了 `A` 的无穷多个点.
	设 `X = {a, b, c}`, `tau = {X, O/, {a}}`, `A = {a}`, 则
	`b, c` 都是 `A` 的聚点, 因为 `b, c` 的邻域都只有 `X`, 而 `a in X`;
	`a` 不是 `A` 的聚点, 因为 `A\\{a} = O/`.
</p>

<p class="theorem">
	`A` 是拓扑空间 `X` 的子集, 则
	<span class="formula">
		`(bar A)^c = (A^c)^@`, `quad` `(A^@)^c = bar(A^c)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	`x in (bar A)^c`
	`iff x` 有邻域与 `A` 不相交
	`iff x` 有邻域含于 `A^c`
	`iff x in (A^c)^@`.
	第一式得证; 以 `A^c` 替换第一式的 `A`, 再于等号两边取补集得第二式.
</p>

<ol class="theorem">
	<li>`A sube B rArr bar A sube bar B`;</li>
	<li>`bar A` 是所有包含 `A` 的闭集的交, 因此是包含 `A` 的最小闭集;</li>
	<li>`A` 是闭集 `iff bar A = A`;</li>
	<li>`bar(A uu B) = bar A uu bar B` (可推广到有限个);</li>
	<li>`bar(A nn B) sube bar A nn bar B`.</li>
</ol> 

<ol class="proof">
	用<a class="ref" href="#the-openset-property"></a>的结果:
	<li>`A sube B`
		`iff B^c sube A^c` 
		`rArr (B^c)^@ sube (A^c)^@`
		`iff (bar B)^c sube (bar A)^c`
		`iff bar A sube bar B`.
	</li>
	<li>(`U_alpha` 定义同<a class="ref" href="#the-openset-property"></a>)
		`(A^c)^@ = uuu_(alpha in I) U_alpha`,
		`bar A = ((A^c)^@)^c = nnn_(alpha in I) U_alpha^c`.
	</li>
	<li>`A` 是闭集
		`iff A^c` 是开集
		`iff (A^c)^@ = A^c`
		`iff bar A = A`.
	</li>
	<li>`(bar(A uu B))^c`
		`= ((A uu B)^c)^@`
		`= (A^c nn B^c)^@`
		`= (A^c)^@ nn (B^c)^@`
		`= (bar A)^c nn (bar B)^c`
		`= (bar A uu bar B)^c`.
	</li>
	<li>`"右"^c = (A^c)^@ uu (B^c)^@`
		`sube (A^c uu B^c)^@`
		`= ((A nn B)^c)^@`
		`= "左"^c`.
	</li>
</ol>

<p class="definition">
	称拓扑空间 `X` 的子集 `A` 是<b>稠密</b>的, 如果 `bar A = X`;
	称 `X` 是<b>可分</b>的, 如果它存在可数的稠密子集.
</p>

<p class="corollary">
	`A` 在 `X` 中稠密 `iff` `X` 中的任意非空开集 `U` 与 `A` 有交点.
</p>

<ol class="example">
	<li>`(RR, tau_f)` 的非空开集是有限集的余集,
		因此它的任一无穷子集都是稠密的. `QQ` 是一个可数的稠密子集.
		从而 `(RR, tau_f)` 可分.
	</li>
	<li>`(RR, tau_c)` 的任一可数集是闭集, 其闭包不可能是 `RR`, 从而不稠密.
		因此 `(RR, tau_c)` 不可分.
	</li>
</ol>

<h4>序列收敛性</h4>

<p class="definition">
	设 `x` 是拓扑空间 `X` 中的一点, `{x_n}` 是 `X` 中的点列.
	若对 `x` 的任意 (开) 邻域 `U`, 存在正整数 `N`, 使 `n gt N` 时,
	都有 `x_n in U` (换言之, `{x_n}` 只有有限项不在 `U` 中),
	则称 `{x_n}` <b>收敛</b>到 `x`, 记为 `x_n to x`.
</p>

<ol class="remark">
	拓扑空间中的收敛序列失去了一些重要的分析性质.
	<li>序列可以收敛到多个点. `(RR, tau_f)` 中, 令 `{x_n}` 的项两两不同,
		则对任意 `x in RR`, 其邻域 `U` 的余集是有限集, 从而 `{x_n}`
		只有有限项不在 `U` 中. 这推出 `x_n to x`.
	</li>
	<li>聚点原理一般不成立. 数学分析中, 当 `x` 是 `A` 的聚点时, `A`
		中有序列收敛到 `x`. 但在 `(RR, tau_c)` 中, `x_n to x`
		`iff EE N, AA n gt N, x_n = x`. 设 `A` 是一个不可数真子集,
		则包含 `A` 的闭集只有 `RR`, 这推出 `bar A = RR`.
		取 `x in A^c`, 则 `x` 是 `A` 的聚点, 但 `A` 中不存在序列收敛到
		`x`.
		要使聚点原理成立, 满足 `C_1` 公理是一个充分条件, 见第二章第一节.
	</li>
</ol>

<h3>子空间</h3>

<p class="definition">
	设 `A` 是拓扑空间 `(X, tau)` 的非空子集. 容易验证
	<span class="formula">
		`tau_A := { U nn A: U in tau }`
	</span>
	是 `A` 上的一个拓扑, 称为 `tau` 导出的 `A` 上的<b>子空间拓扑</b>,
	`(A, tau_A)` 称为 `(X, tau)` 的<b>子空间</b>.
</p>

<ol class="remark">
	<li>设 `A` 是拓扑空间 `(X, tau)` 的非空子集, `B` 是 `A` 的非空子集,
		于是 `B` 有两个途径得到子空间拓扑: 一是直接作为 `X` 的子空间,
		二是作为 `(A, tau_A)` 的子空间. 两个拓扑事实上是一样的. 记
		`(tau_A)_B` 是 `tau_A` 导出的 `B` 上的拓扑, 则
		<span class="formula">
			`(tau_A)_B = { V nn B: V in tau_A }`
			`= { (U nn A) nn B: U in tau }`
			`= { (U nn B): U in tau } = tau_B`.
		</span>
	</li>
	<li>对于度量空间 `(X, d)` 的非空子集 `A`, 也有两种途径得到拓扑:
		一是直接作为 `(X, tau_d)` 的子空间, 二是由 `d` 在 `A` 上的限制得到
		`A` 上的度量 `d_A`, 再决定 `A` 的度量拓扑 `tau_(d_A)`.
		这两个拓扑也是相同的.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	开集及依赖开集定义的其他概念都是相对概念, 需要指出所在的空间.
	对于子空间 `A` 的子集 `U`, 笼统地说 `U` 是不是开集意义就不明确了,
	必须说明在 `A` 中看还是在全空间中看.
	如 `bm E^1` 是 `bm E^2` 的子空间,
	开区间 `(0, 1)` 在 `bm E^1` 中是开集, 但在 `bm E^2` 中不是.
</p>

<p class="theorem" id="the-subspace-topology-eq">
	设 `X` 是拓扑空间, `B sube A sube X`, 则
	<span class="formula">
		`B` 是 `A` 的开集 `iff EE X` 中开集 `U`, `B = U nn A`;<br/>
		`B` 是 `A` 的闭集 `iff EE X` 中闭集 `C`, `B = C nn A`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	结论一由子空间拓扑的定义可得. 利用结论一,
	<span class="formula">
		`B` 是 `A` 的闭集
		`iff A\\B` 是 `A` 的开集
		`iff EE X` 中开集 `U`, `A\\B = U nn A`.
	</span>
	令 `C = U^c`, 等号两边同时取 `A` 中的补集, 于是上式
	`iff EE X` 中闭集 `C`, `B = C nn A`.
</p>

<ol class="theorem">
	设 `X` 是拓扑空间, 则
	<li>若 `B sube A sube X`, `B` 是 `X` 的开 (闭) 集, 则 `B` 也是 `A`
		的开 (闭) 集;
	</li>
	<li>传递性. 若 `A` 是 `X` 的开 (闭) 集, `B` 是 `A` 的开 (闭) 集,
		则 `B` 也是 `X` 的开 (闭) 集.
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
	利用<a class="ref" href="#the-subspace-topology-eq"></a>,
	<li>当 `B` 的 `X` 的开 (闭) 集时, `B = B nn A` 也是 `A` 的开 (闭) 集.
	</li>
	<li>由 `B` 是 `A` 的开 (闭) 集, 存在 `X` 的开 (闭) 集 `U`,
		使得 `B = U nn A`. 又由 `A` 是 `X` 的开 (闭) 集知, `B` 是 `X` 的开
		(闭) 集.
	</li>
</ol>

<h2>连续映射与同胚映射</h2>

<h3>连续映射的定义</h3>

<p class="definition">
	设 `X, Y` 是两个拓扑空间, 称映射 `f: X to Y` 在 `x in X`
	处<b>连续</b>, 如果
	<span class="formula">
		`V` 是 `f(x)` 在 `Y` 中的 (开) 邻域
		`rArr f^-1(V)` 是 `x` 在 `X` 中的邻域.
	</span>
	即 `f(x) in V^@ rArr x in f^-1(V)^@`.
	换言之, 对 `f(x)` 的每个开邻域 `V`, 必存在 `x` 的开邻域 `U`, 使
	`U sube f^-1(V)`, 即 `f(U) sube V`.
</p>

<p class="remark">
	定义中的第一个"邻域"换成"开邻域"也是对的, 因为任一 `f(x)` 的邻域 `V`
	总是包含一个开邻域 `V'`, 而 `V' sube V rArr f^-1(V') sube f^-1(V)`.
</p>

<ol class="theorem" id="the-continuity-restriction">
	设 `A` 是拓扑空间 `X` 的子集, `x in A`, `f: X to Y`.
	记 `f_A = f | A: A to Y` 是 `f` 在 `A` 上的限制, 则
	<li>`f` 在 `x` 连续 `rArr f_A` 在 `x` 连续;</li>
	<li>`A` 是 `x` 的邻域时, 1 是充要的.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>设 `V` 是 `f_A(x) = f(x)` 在 `Y` 上的邻域.
		从而 `f^-1(V)` 是 `x` 在 `X` 的邻域, 即 `x in
		(f^-1(V))^@`. 但
		<span class="formula">
			<span class="box">
				`f_A^-1(V) = A nn f^-1(V)`
			</span>
			`supe A nn (f^-1(V))^@`,
		</span>
		上式右端是 `A` 中含 `x` 的开集,
		从而 `f_A^-1(V)` 是 `x` 在 `X` 的邻域.
		这说明 `f_A` 在 `x` 连续.
	</li>
	<li>设 `V` 是 `f(x)` 的邻域, `f_A` 在 `x` 连续, 则存在 `A` 中开集
		`U_A`, 使 `x in U_A sube f_A^-1(V) = A nn f^-1(V)`.
		设 `U_A = U nn A`, 其中 `U` 是 `X` 的开集. 则 `U nn A^@` 也是 `X`
		的开集, 且 `x in U nn A^@ sube U_A sube f^-1(V)`. 因此 `f` 在 `x`
		连续.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	<a class="ref" href="#the-continuity-restriction"></a>的 2 表明,
	映射在一点的连续性只与它在该点附近 (即邻域内) 的情形有关.
	因此和分析学中一样, 连续性是一种局部性概念.
</p>

<p class="definition">
	如果映射 `f: X to Y` 在任一点 `x in X` 都连续, 则说 `f`
	是<b>连续映射</b>.
</p>

<ol class="theorem">
	设 `f: X to Y` 是映射, 则以下各款等价:
	<li>`f` 是连续映射;</li>
	<li>`Y` 的任一开集在 `f` 下的原像是 `X` 的开集;</li>
	<li>`Y` 的任一闭集在 `f` 下的原像是 `X` 的闭集.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`iff` 2.
		若 `f` 是连续映射, 设 `V` 是 `Y` 的开集，`U = f^-1(V)`.
		任取 `x in U`, 则 `f(x) in V = V^@`.
		但 `f` 在 `x` 连续, 有 `x in U^@`. 由 `x` 的任意性知 `U = U^@`,
		即 `U` 是开集. 反之, 若 `Y` 的任一开集在 `f` 下的原像是 `X`
		的开集, 则任取 `x in X`, 对于 `Y` 中 `f(x)` 的任一开邻域 `V`,
		`f^-1(V)` 是包含 `x` 的开集, 即 `f` 在 `x` 连续.
	</li>
	<li>`iff` 3.
		`F` 是 `Y` 的闭集
		`iff F^c` 是 `Y` 的开集
		`rArr f^-1(F^c)` 是 `X` 的开集
		`iff f^-1(F) = (f^-1(F^c))^c` 是 `X` 的闭集.
		反向的结论类似可证.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	拓扑空间中一般不能用序列收敛来刻画连续性. 事实上, 如果 `f: X to Y`
	在 `x in X` 处连续, 则当 `x_n to x` 时, 必有 `f(x_n) to f(x)`.
	然而逆命题不成立. 例如设 `f` 为单射, `X` 是具有余可数拓扑的不可数空间,
	`Y` 是离散拓扑空间. 于是当 `x_n to x` 时, 对充分大的 `n`, 有 `x_n =
	x`, 从而 `f(x_n) to f(x)`. 但 `f` 在 `x` 并不连续, 如 `{f(x)}` 是
	`f(x)` 的邻域, 但 (`f` 是单射) 其原像为 `{x}`, 并不是 `x` 的邻域.
</p>

<h3>连续映射的性质</h3>

<ol class="example">
	连续映射的例子
	<li><b>恒同映射</b>
		<span class="formula">
			`"id": X to X`,<br/>
			`"id"(x) = x`.
		</span>
	</li>
	<li><b>包含映射</b>
		设 `A` 是 `X` 的子空间, 定义
		<span class="formula">
			`i: A to X`,<br/>
			`i(a) = a`.
		</span>
		`U` 是 `X` 的开集时, `i^-1(U) = A nn U` 是 `A` 的开集.
	</li>
	<li><b>常值映射</b>
		<span class="formula">
			`f: X to Y`,<br/>
			`f(x) = y_0`.
		</span>
		设 `V` 是 `Y` 的开集, 则
		<span class="formula">
			`f^-1(V) = {
				X, if y_0 in V;
				O/, if "else";
			:}` 是开集.
		</span>
	</li>
	一般地, 如果 `X` 是离散拓扑空间, 或 `Y` 是平凡拓扑空间, 则 `f: X to Y`
	一定是连续的.
</ol>

<p class="theorem" id="the-continuous-composite-map">
	<b>复合映射的连续性</b>.
	设 `X, Y, Z` 都是拓扑空间, `f: X to Y` 在 `x` 处连续,
	`g: Y to Z` 在 `f(x)` 处连续, 则复合映射 `g @ f: X to Z`
	在 `x` 处连续.
</p>

<p class="proof">
	对于 `g(f(x))` 的任一邻域 `W`, 由 `g` 在 `f(x)` 处连续知
	`g^-1(W)` 是 `f(x)` 的邻域;
	又由于 `f` 在 `x` 处连续, `f^-1(g^-1(W)) = (g @ f)^-1(W)` 是 `x`
	的邻域, 结论得证.
</p>

<p class="corollary">
	两个连续映射的复合也是连续映射.
</p>

<p class="remark">
	利用<a class="ref" href="#the-continuous-composite-map"></a>,
	可以给出<a class="ref" href="#the-continuity-restriction"></a>中
	1 的另一个证明: `f_A = f @ i`, 由 `f` 和 `i` 的连续性得到 `f_A` 连续.
</p>

<p class="definition">
	称拓扑空间 `X` 的子集族 `cc C sube 2^X` 是 `X` 的一个<b>覆盖</b>, 如果
	`uuu_(C in cc C) C = X`; 换言之, `AA x in X`, `EE C in cc C` 使 `x in
	C`. `cc C` 中成员都是开 (闭) 集时, 称之为<b>开 (闭) 覆盖</b>;
	`cc C` 为有限集时, 称为<b>有限覆盖</b>.
</p>

<p class="lemma">
	<b>粘接引理</b>
	设 `{A_1, A_2, cdots, A_n}` 是 `X` 的一个有限闭覆盖, 如果 `f: X to Y`
	在每个 `A_i` 上的限制 `f_(A_i)` 都连续, 则 `f` 是连续映射.
</p>

<p class="proof">
	只需验证 `Y` 的每个闭集 `F` 的原像是 `X` 的闭集:
	<span class="formula">
		`f^-1(F) = uuu_(i=1)^n (f^-1(F) nn A_i)`
		`= uuu_(i=1)^n f_(A_i)^-1(F)`.
	</span>
	由 `f_(A_i)` 的连续性, 每个 `f_(A_i)^-1(F)` 是 `A_i` 的闭集.
	而 `A_i` 为 `X` 的闭集, 所以由闭集的传递性, `f_(A_i)^-1(F)` 也是
	`X` 的闭集. 最后, `f^-1(F)` 作为有限个闭集的并也是闭集.
</p>

<p class="remark">
	粘接引理是判断映射连续性的一种有效方法, 也是分片构造连续映射的依据.
</p>

<h3>同胚映射</h3>

<p class="definition">
	称 `f: X to Y` 是<b>同胚映射</b>或<b>拓扑变换</b>, 如果 `f` 是双射, 且
	`f, f^-1` 均连续. 当存在 `X` 到 `Y` 之间的同胚映射时, 就称 `X` 与 `Y`
	同胚, 记作 `X cong Y`.
</p>

<ol class="remark">
	在全体拓扑空间集合内, 同胚是一等价关系, 其自反性,
	对称性与传递性分别基于以下事实:
	<li>恒同映射是同胚映射;</li>
	<li>`f` 是同胚映射 `rArr f^-1` 是同胚映射;</li>
	<li>两个同胚映射的复合也是同胚映射.</li>
</ol>

<p class="definition">
	称 `f: X to Y` 是<b>嵌入映射</b>, 如果 `f: X to f(X)` 是同胚映射.
	例如, 包含映射 `i: A to X` 是嵌入映射.
</p>

<p class="definition">
	拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为<b>拓扑概念</b>,
	在同胚映射下保持不变的性质叫<b>拓扑性质</b>. 例如, 开集, 闭集, 邻域,
	内点, 聚点, 闭包等等皆为拓扑概念.
	用开集或其派生概念刻画的性质都是拓扑性质, 如可分性.
	`(RR, tau_f)` 可分, 而 `(RR, tau_c)` 不可分, 故它们不同胚.
</p>

<h2>乘积空间与拓扑基</h2>

<p class="definition">
	设 `cc B sube 2^X` 是 `X` 的子集族, 规定新子集族 (不是闭包)
	<span class="formula">
		`bar cc B := {U sube X: U` 是 `cc B` 中若干成员的并`}`
		`= {U sube X: AA x in U, EE B in cc B, x in B sube U}`.
	</span>
	称为 `cc B` <b>生成</b>的子集族. 显然 `cc B sube bar cc B`, `O/ in bar
	cc B`.
</p>

<p class="definition">
	设 `X_1, X_2` 是两个集合, 规定 `X_1 xx X_2` 到 `X_i` 的<b>投射</b>
	(`i = 1, 2`):
	<span class="formula">
		`j_i: X_1 xx X_2 to X_i`,<br/>
		`j_i(x_1, x_2) = x_i`.
	</span>
</p>

<ol class="remark">
	由笛卡尔积的定义容易验证如下性质. 这些性质在 Euclid 空间
	`bm E^2 = bm E^1 xx bm E^1` 中是直观的:
	<li>`A_i sube X_i` (`i = 1, 2`) `rArr A_1 xx A_2 sube X_1 xx X_2`;
	</li>
	<li>`A_i, B_i sube X_i` (`i = 1, 2`) `rArr`
		<span class="formula">
			`(A_1 xx A_2) nn (B_1 xx B_2) = (A_1 nn B_1) xx (A_2 nn B_2)`.
		</span>
		而对于并运算, 类似等式不成立.
	</li>
</ol>

<h3>乘积空间</h3>

<ol class="definition">
	设 `(X_1, tau_1)`, `(X_2, tau_2)` 是两个拓扑空间, 定义 `X_1 xx X_2`
	上的拓扑 `tau`, 满足
	<li>`tau` 使得投射 `j_1, j_2` 都连续;</li>
	<li>`tau` 是使 1. 成立的最小拓扑.</li>
	称为 `X_1 xx X_2` 上的<b>乘积拓扑</b>. 称 `(X_1 xx X_2, tau)`
	为 `(X_1, tau_1)` 和 `(X_2, tau_2)` 的<b>乘积空间</b>,
	简记为 `X_1 xx X_2`.
</ol>

<p class="theorem">
	令 `cc B = {U_1 xx U_2: U_i in tau_i, i = 1, 2}`, 则它生成的子集族
	`bar cc B` 就是 `X_1 xx X_2` 上的乘积拓扑.
	例如, `bm E^2` 中的开集可以表示为若干开矩体的并.
</p>

<ol class="proof">
	<li>设 `tau` 是 `X_1 xx X_2` 上的拓扑, 使得 `j_1, j_2` 连续. 下证
		`bar cc B sube tau`.
		任取 `U_i in tau_i`, `i = 1, 2`, 由于 `j_i` 连续,
		`j_i^-1(U_i) in tau` (开集的原像也是开集).  而
		<span class="formula">
			`  U_1 xx U_2`
			`= (U_1 nn X_1) xx (U_2 nn X_2)`
			`= (U_1 xx X_2) nn (X_1 xx U_2)`
			`= j_1^-1(U_1) nn j_2^-1(U_2)`
			`in tau`.
		</span>
		这说明 `cc B sube tau`; 由 `tau` 满足拓扑公理 2 知 `bar cc B sube
		tau`.
	</li>
	<li>验证 `bar cc B` 是 `X_1 xx X_2` 上的拓扑.
		显然, 它满足拓扑公理 1 和 2, 下证它满足拓扑公理 3.
		设 `U, V in bar cc B`, 要证 `U nn V in bar cc B`.
		任取 `(x_1, x_2) in U nn V`, 这蕴含 `(x_1, x_2) in U`,
		从而存在 `U_i in tau_i`, `i = 1, 2`, 使 `(x_1, x_2) in U_1 xx U_2
		sube U`; 同理存在 `V_i in tau_i`, `i = 1, 2`, 使 `(x_1, x_2) in
		V_1 xx V_2 sube V`. 于是
		<span class="formula">
			`(x_1, x_2) in (U_1 xx U_2) nn (V_1 xx V_2) sube U nn V`,
		</span>
		而
		<span class="formula">
			`  (U_1 xx U_2) nn (V_1 xx V_2)`
			`= (U_1 nn V_1) xx (U_2 nn V_2) in cc B`,
		</span>
		这推出 `U nn V in bar cc B`.
	</li>
</ol>

<p class="theorem">
	投射 `j_i`, `i = 1, 2` 是<b>开映射</b>, 即把 `X_1 xx X_2` 中的开集映到
	`X_i` 中的开集.
</p>

<p>	类似地, `n` 个拓扑空间 `(X_i, tau_i)`, `i = 1, 2, cdots, n`
	的乘积拓扑定义可以由
	<span class="formula">
		`cc B = {prod_(i=1)^n U_i: U_i in tau_i, i = 1, cdots, n}`
	</span>
	生成.
</p>

<p>	拓扑空间的乘积运算具有结合律, 即
	<span class="formula">
		`X_1 xx X_2 xx X_3 = (X_1 xx X_2) xx X_3 = X_1 xx (X_2 xx X_3)`.
	</span>
</p>

<h3>乘积空间的性质</h3>

<p class="definition">
	设 `Y` 是任一拓扑空间, `f: Y to X_1 xx X_2` 是一映射. 称 `f_i = j_i @
	f: Y to X_i`, `i = 1, 2` 为 `f` 的两个<b>分量</b> (映射). `f`
	与它的两个分量相互决定.
</p>

<p class="theorem">
	假设如上. 则 `f` 连续 `iff f` 的分量都连续.
</p>

<ol class="proof">
	<li>`rArr`. 因为 `j_i` 连续, 所以当 `f` 连续时, 复合映射 `f_i = j_i @
		f` 也连续, `i = 1, 2`;
	</li>
	<li>`lArr`. 设 `U_i in tau_i`, `i = 1, 2`, 则 `f_i^-1(U_i)`
		是 `Y` 的开集.  但
		<span class="formula">
			`f(y) in U_1 xx U_2 iff f_i(y) in U_i (i = 1, 2)`,
		</span>
		因此 `f^-1(U_1 xx U_2) = f_1^-1(U_1) nn f_2^-1(U_2)` 是 `Y`
		的开集. 对于 `X_1 xx X_2` 中一般的开集 `W`, 有
		<span class="formula">
			`W = uuu_(alpha in I) U_1^alpha xx U_2^alpha`, `U_i^alpha in
			tau_i`, `AA alpha in I`.
		</span>
		于是
		<span class="formula">
			`f^-1(W) = uuu_(alpha in I) f^-1(U_1^alpha xx U_2^alpha)`
		</span>
		也是 `Y` 的开集. 因此 `f` 连续.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	此定理可推广到任意多个拓扑空间的乘积 (无穷情形用乘积拓扑).
	还可证明, `X_1 xx X_2` 上使定理成立的拓扑只有乘积拓扑.
</p>

<p class="corollary">
	`AA b in X_2`, 映射
		`j_b: X_1 to X_1 xx X_2`,
		`x |-> (x, b)`
	是嵌入映射.
</p>

<p class="proof">
	验证 `i_b: X_1 to j_b(X_1) = X_1 xx {b}` 是同胚. 显然它是双射.
	`i_b^-1` 是 `j_1` 在 `X_1 xx {b}` 上的限制, 因此是连续的. `i_b`
	的两个分量分别是恒同映射 `"id": X_1 to X_1` 和 `X_1` 到 `X_2`
	的常值映射, 都是连续的. 因此 `i_b` 连续.
</p>

<h3>拓扑基</h3>

<p>	回顾度量拓扑与乘积拓扑的定义, 它们都是用一个特定的子集族生成的.
	在度量拓扑中, 这个子集族的成员是球形邻域; 在乘积拓扑中,
	它们是 `X_1` 与 `X_2` 中开集的笛卡尔积 (开矩体).
	从上述方法中抽象出拓扑基的概念.
</p>

<ol class="definition">
	<li><b>集合的拓扑基</b> 称集合 `X` 的子集族 `cc B` 为集合 `X`
		的拓扑基, 如果 `bar cc B` 是 `X` 的一个拓扑;
	</li>
	<li><b>拓扑空间的拓扑基</b> 称拓扑空间 `(X, tau)` 的子集族 `cc B`
		为这个拓扑空间的拓扑基, 如果 `bar cc B = tau`.
	</li>
	总之, 拓扑基中若干集合的并构成了 `X` 上的拓扑.
	若两个拓扑基生成相同的拓扑, 则称它们<b>等价</b>.
</ol>

<ol class="theorem">
	`cc B` 是集合 `X` 的拓扑基的充要条件是:
	<li>`uuu_(B in cc B) B = X`;</li>
	<li>`B_1, B_2 in cc B rArr B_1 nn B_2 in bar cc B`.</li>
</ol>

<p class="proof">
	条件 2 显然是为了使拓扑公理 3 得到满足. 我们联系度量拓扑的证明.
	必要性显然, 下证充分性, 即验证 `cc B` 满足拓扑公理.
	由 `bar cc B` 的定义知它满足拓扑公理 2, 且 `O/ in bar cc B`.
	条件 1 说明 `X in bar cc B`, 因此 `bar cc B` 也满足拓扑公理 1.
	设 `U, V in bar cc B`, 记 `U = uuu_alpha B_alpha`, `V = uuu_beta
	C_beta`, 其中 `B_alpha, C_beta in cc B`, `AA alpha, beta`.
	由条件 2 得
	`B_alpha nn C_beta in bar cc B`, `AA alpha, beta`.
	于是
	`U nn V = uuu_(alpha, beta) (B_alpha nn C_beta) in bar cc B`.
	从而拓扑公理 3 成立.
</p>

<ol class="theorem">
	`cc B` 是拓扑空间 `(X, tau)` 的拓扑基的充要条件是:
	<li>`cc B sube tau`, 即 `cc B` 的每个成员都是开集;</li>
	<li>`tau sube bar cc B`, 即每个开集都能表为 `cc B` 中若干成员的并.
	</li>
</ol>

<p class="proof">
	必要性显然. 由拓扑公理 2 和条件 1 推出 `bar cc B sube tau`, 再结合 2
	有 `tau = bar cc B`, 充分性得证.
</p>

<p class="definition">
	<b>子空间的拓扑基</b>
	若 `cc B` 是 `(X, tau)` 的拓扑基, `A sube X`, 容易验证 `A` 的子集族
	<span class="formula">
		`cc B_A := {A nn B: B in cc B}`
	</span>
	是 `(A, tau_A)` 的拓扑基. 事实上, `cc B_A` 的每个成员都是 `A` 的开集;
	设 `V` 是 `A` 的开集, 则存在 `U in tau`, 使 `V = A nn U`.
	设 `U = uuu_alpha B_alpha`, `B_alpha in cc B`, 则
	`V = uuu_alpha (A nn B_alpha) in bar cc B_A`.
</p>

<p class="theorem">
	设 `X` 是拓扑空间, `cc B` 是其拓扑基, `A sube X`, 则
	<span class="formula">
		`x in A^@` `iff EE B in cc B`, `x in B sube A`.
	</span>
</p>

<p class="remark">
	回顾邻域与内点的定义可知,
	此定理把前述定义中的开集换成了拓扑基中的特定开集.
	于是, 许多由邻域定义的概念可由拓扑基刻画, 如
	<span class="formula">
		`x` 是 `A` 的聚点 `iff cc B` 中每个包含 `x` 的成员与 `A\\{x}`
		有交点;<br/>
		`x in bar A` `iff cc B` 中每个包含 `x` 的成员与 `A` 有交点;<br/>
		`f: Y to X` 连续 `iff AA B in cc B`, `f^-1(B)` 是 `Y` 的开集.
	</span>
	当 `cc B` 中成员的形式比较 "规范" 时
	(如度量空间的球形邻域或乘积空间中的开矩体), 以上的等价条件尤为方便.
</p>

<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
